$$x>1$$
| Quantity A | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | Quantity B |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x(x^2)^4$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $(x^3)^3$ |
- Quantity A is greater.
- Quantity B is greater.
- The two quantities are equal.
- The relationship cannot be determined from the information given.
So, you were trying to be a good test taker and practice for the GRE with PowerPrep online. Buuuut then you had some questions about the quant section—specifically question 6 of the second Quantitative section of Practice Test 1. Those questions testing our knowledge of Rules of Exponents can be kind of tricky, but never fear, PrepScholar has got your back!
Surveying the Question
$x$ raised to an exponent…even exponents RAISED to exponents! Looks like someone went a bit crazy trying to test our knowledge of Rules of Exponents in this question. Let’s keep what we’ve learned about this skill at the tip of our minds as we approach this question.
What Do We Know?
Let’s carefully read through the question and make a list of the things that we know.
- $x$ must be greater than $1$
- We’re comparing two expressions that have $x$ raised to various exponents
Develop a Plan
It would be easier to compare these quantities if they had a lot less going on in them. Our Rules of Exponents math skill shows us how to take complicated expressions with exponents in them and turn them into simpler looking expressions. Let’s plan to use this math skill to simplify both quantities until we have something of the form: $x^{\something}$.
Solve the Question
We see that both quantities have an exponent raised to an exponent. We remember that the Power Rule of Exponents can be used to simplify exponents raised to other exponents by multiplying the exponents together. For example, $(2^5)^7=2^{5·7}=2^35$. Let’s use this rule to simplify our two quantities a bit.
| Quantity A | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | Quantity B |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x(x^2)^4$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $(x^3)^3$ |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x(x^{2·4})$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $x^{3·3}$ |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x(x^8)$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $x^9$ |
Excellent! Almost completely simplified to look like $x^{\Something}$. We remember from our Rules of Exponents math skill that whenever the base is the same number, we can use the Product Rule of Exponents to combine exponents of terms being multiplied together by adding the exponents together. As an example, $2^5·2^7 = 2^{5+7}=2^12$. Let’s use this rule to continue simplifying Quantity A.
| Quantity A | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | Quantity B |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x(x^8)$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $x^9$ |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x^1(x^8)$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $x^9$ |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x^{1+8}$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $x^9$ |
| $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | ||
| $x^9$ | $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ | $x^9$ |
Well that’s a bit surprising. Although they look completely different in the question, it turns out that both quantities simplify to the same thing: $x^9$. Guess we can’t judge an exponential term The correct answer is C, the two quantities are equal.
What Did We Learn
Rules of Exponents. We applied the Power Rule of Exponents and the Product Rule of Exponents. Committing exponent rules to memory will help us $^{\exponentially}$ when solving these types of questions on the GRE.
$\Power \Rule \for \Exponents:(x^a)^b=x^{ab}$
$\Product \Rule \for \Exponents: (x^a)(x^b)=x^{a+b}$
$\Quotient \Rule \for \Exponents: (x^a)/(x^b)=x^{a-b}$
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